题目

在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=4, AD=3,AA1=2,M、N分别为DC、BB1的中点,求异面直线MN与A1B的距离.

提问时间：2020-12-03

答案

取BC的中点E,连接ME,EN.
取A1B的中点F,连接:DF,DB.FN.
知:DM//AB//FN,且DM=FN.即知DMNF为平行四边形.故:MN//DF.
MN//平面A1BD.(平行于平面上的一条直线就平行于这个平面.).
而A1B就在平面A1BD上.
故MN到平面A1BD的距离,等于MN到直线A1B的距离.
现计算M点到平面A1BD主距离.为此,考察三角锥DMBA1.
以三角形DMB为底,其面积S=3.其高为h=2.故体积V=(1/3)*3*2=2.
同以A1DB为底,考虑,则其高即为M点到平面A1BD的距离.
求得:A1B=根号20,A1D =根号13.BD= 5.由余弦定理得:
cos角DA1B= [20 +13-25]/[2*根号20 *根号13]= 4/根号65.
sin角DA1B =7/根号65.三角形A1BD的面积A= (1/2)A1B *A1D *sin角DA1B
=7.
设M点到平面的距离为:d.
则有:(1/3)*7* d =2.求得:d=6/7.
即所求异面直线的距离为:d= 6/7.