题目

△ABC中,AB=AC,D是△ABC内的一点,且DC>B,求证∠ADB>∠ADC
问题在这里：△ABC中，AB=AC，D是△ABC内的一点，且DC>DB，求证∠ADB>∠ADC

提问时间：2020-12-03

答案

∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠ABC＝∠ACB
∵DC>DB
∴∠DBC>∠DCB（大角对大边）
由∠ABC＝∠ABD＋∠DBC,∠ACB＝∠ACD＋∠DCB
∴∠ABD<∠ACB
由余弦定理,得：
cos∠BAD＝(AB^2＋AD^2－BD^2)/(2AB·AD)
cos∠CAD＝(AC^2＋AD^2－CD^2)/(2AC·AD)
∵AB＝AC,AD＝AD（公共）,DB∴cos∠BAD>cos∠CAD
∵余弦函数在0到180度内是减函数
∴∠BAD<∠CAD
∵∠ABD＋∠BAD＋∠ADB＝180度
∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180度
∴∠ADB>∠ADC