题目
函数f（x）=（x+a）3，对任意t∈R，总有f（1+t）=-f（1-t），则f（2）+f（-2）=（ ）
A. 0
B. 2
C. -26
D. 28
A. 0
B. 2
C. -26
D. 28
提问时间：2020-12-03
答案
由f（x）满足对任意t∈R，总有f（1+t）=-f（1-t），
所以函数y=f（x）的图象关于点（1，0）中心对称．
则f（x+1）关于原点中心对称，即g（x）=f（x+1）=（x+1+a）3的图象关于原点中心对称．
所以函数g（x）=（x+1+a）3为奇函数．
所以g（0）=（a+1）3=0．
则a=-1．
所以f（x）=（x-1）3．
则f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=-26．
故选C．
所以函数y=f（x）的图象关于点（1，0）中心对称．
则f（x+1）关于原点中心对称，即g（x）=f（x+1）=（x+1+a）3的图象关于原点中心对称．
所以函数g（x）=（x+1+a）3为奇函数．
所以g（0）=（a+1）3=0．
则a=-1．
所以f（x）=（x-1）3．
则f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=-26．
故选C．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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