题目

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（2）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
（3）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？

提问时间：2020-12-03

答案

（1）如图①∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=

1

2

CD=

1

2

×2t=t．
∵AE=t，
∴DF=AE．
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）①显然∠DFE＜90°；
②如图①′，当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=

1

2

AD，
∴t＝

1

2

(12−2t)，
∴t=3；
③如图①″，当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=

1

2

AE，
∴12−2t＝

1

2

t，
∴t＝

24

5

；
综上：当t=3秒或t＝

24

5

秒时，△DEF为直角三角形；
（3）如图②，若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD，
∴t=12-2t，
∴t=4．
∴当t=4时，四边形AEA′D为菱形．