题目

矩形ABCD中,AB=CD=2,BC=AD=8,矩形内有一点O,它与AB,BC,AD的距离都是1,把矩形绕O旋转45°,那么旋转后的公共部分的面积是

提问时间：2020-12-02

答案

过点O作EF‖AB‖CD,分别交BC,AD于点E,F,并延长EF交于B'点(即B点经过旋转后的点)
以角A为例,角A旋转后没有公共部分为等腰直角三角形,其面积为
S1＝(1/2)*(√2－1)*2(√2－1)＝3－2√2,
在EF的左边,公共部分的面积为矩形ABEF的面积减去两个角的面积,S2＝1×2－2×(3－2√2)＝4√2－4,
在EF的右边,公共部分的面积为以EB'为直角边的等腰直角三角形的面积减去角的一半的面积,EB'＝FO＋OB'＝1＋√2,
S3＝(1/2)EB'��－(1/2)S1＝2√2,
所以旋转后公共部分的面积为S2＋S3＝6√2－4
(自己作图,画图之后就容易很多,自己根据图组织语言,我手机没法画)