题目

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．

提问时间：2020-12-02

答案

（1）当k=1时，f（x）=ln（x-1）-（x-1）+1=ln（x-1）-x+2，f′(x)＝

2−x

x−1

，
函数f（x）的定义域为（1，+∞），令f′（x）=0，求得x=2，
∵当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）内是增函数，在（2，+∞）上是减函数
∴当x=2时，f（x）取最大值f（2）=0．
（2）函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1没有零点，
即函数y=ln（x-1）的图象与函数y=k（x-1）-1的图象没有交点．
①当k≤0时，由于函数y=ln（x-1）图象与函数y=k（x-1）-1图象有公共点，
∴函数f（x）有零点，不合要求．
②当k＞0时，f′(x)＝

1

x−1

−k＝

1+k−kx

x−1

＝−

k(x− 1+k k )

x−1

，
令f′(x)＝0，得x＝

k+1

k

，∵x∈(1，

k+1

k

)时，f′(x)＞0，x∈(1+

1

k

，+∞)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(1，1+

1

k

)内是增函数，在[1+

1

k

，+∞)上是减函数，
∴f（x）的最大值是f(1+

1

k

)＝−lnk，
∵函数f（x）没有零点，∴-lnk＜0，求得k＞1．
综上可得，实数k的取值范围为（1，+∞）．