题目

已知a为正整数,如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是正整数,求a的值及方程的整数根,
注:x3是x的3次方x2是x的2次方,

提问时间：2020-12-02

答案

因为根都是正整数,设为X1;X2;X3.则有
(X-X1)(X-X2)(X-X3)=0
即X*X*X-(X1+X2+X3)X*X+(X1X2+X2X3+X3X1)X-X1X2X3=0
又因为x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0,则有
-（X1+X2+X3）=a+17①
X1X2+X2X3+X3X1=38-a②
X1X2X3=56③
-①-②+③,得
X1+X2+X3-（X1X2+X2X3+X3X1）+X1X2X3=1
(X1-1)(X2-1)(X3-1)+1=1
(X1-1)(X2-1)(X3-1)=0④
可见,必定有一个根为1.
又因为X1X2X3=56=1*2*28=1*4*14=1*8*7=1*56*1；
所以a=-48,X的根为1,2,28
或者a=-36,X的根为1,4,14
或者a=-33,X的根为1,8,7
或者a=-75,X的根为1,56,1.