题目

求导y=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3
怎么用中学方法解呢？

提问时间：2020-12-02

答案

那用大学中用的方法吧：
ln y = ln(x+1) + 2ln(x+2) + 3ln(x+3)
两边对x求导有：
1/y * y' = 1/(x+1) + 2/(x+2) + 3/(x+3)
所以
y'= y*[1/(x+1) + 2/(x+2) + 3/(x+3)]
=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3*[1/(x+1) + 2/(x+2) + 3/(x+3)]
这就是答案.如果需要其他形式的答案可以变形.
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如果是中学方法,先推导一个公式：
我们知道：如果u、v、w都是关于x的函数,那么有：
(uv)'=u'v+uv' (相乘函数的求导法则)
那么三个相乘呢?
(uvw)'=[u*(vw)]'=u'(vw)+u(vw)'
=u'vw+u(v'w+vw')=u'vw+uv'w+uvw'
可见就是抄三次,然后每一项在不同的字母上求导.
回到原题：y=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3
那么u=x+1,v=(x+2)^2 w=(x+3)^3
u'=1 v'=2(x+2) w'=3(x+3)^2
所以y'=u'vw+uv'w+uvw'
=1*(x+2)^2*(x+3)^3+(x+1)*2(x+2)*(x+3)^3+(x+1)*(x+2)^2*3(x+3)^2
=……后面先提公因式,然后再整理……(做题总得有些付出吧～)
可以对比两种做法,答案是一样的.