题目

△ABC一边BC在平面α内，顶点A在平面α外，已知∠ABC=

π

3

，三角形所在平面与α所成的二面角为

π

6

，则直线AB与α所成角的正弦值为（　　）
A.

3

2

B.

1

4

C.

1

2

D.

3

4

提问时间：2020-12-01

答案

作AO⊥α，交平面α于点O，
作OH⊥BC，交BC于点H，
连结AH，
得三角形所在平面与α所成的二面角为∠AHO=

π

6

，
设AO=a，则AH=2a，
又∠ABC=

π

3

，
则AB=

AH

sin∠ABC

=

2a

3 2

=

4 3

3

a，
连结BO，则∠ABO为直线AB与α所成角，
∴sin∠ABO=

AO

AB

=

a

4 3 3 a

=

3

4

．
∴直线AB与α所成角的正弦值为

3

4

．
故选：D．

作AO⊥α，交平面α于点O，作OH⊥BC，交BC于点H，连结AH，连结BO，则∠ABO为直线AB与α所成角，由此能求出直线AB与α所成角的正弦值．

本题考点：直线与平面所成的角

考点点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．