题目

已知抛物线C1：y＝x2+2x和C2：y＝−x2+a．a取何值时C₁和C₂有且仅有一条公切线l，求出公切线l的方程．

提问时间：2020-12-01

答案

函数y=x²+2x的导数为y′=2x+2，在切点P（x1，x12+2x）处的切线方程为y＝(2x1+2)x−x12
同理，曲线C₂的在切点Q（x₂，2x₂）的切线方程为y＝−2x2x+x22+a
由

x1+1＝−x2 −x12＝x22+a

可得2x12+2x1+1+a＝0，因为公切线有且仅有一条，所以△=0
∴a=-

1

2

时，P，Q重合，公切线方程为：y＝x−

1

4

分别求出切线方程，从而可得方程，利用公切线有且仅有一条，即可求得结论．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．