题目

1.已知角A的定点顶点与直角坐标系的原点重合,始边在X轴的正半轴上,终边经过点P
（-1,2）,求cos（2A+45°）的值
2.已知k=[2sinα^2+sin2α]/(1+tanα),45°＜α＜90°,试用k表示sinα-cosα
3.当X,Y为锐角时,等式sin（X+Y）=sinX+sinY成立吗?说明理由.

提问时间：2020-11-30

答案

1.由题意据任意角三角函数的定义可得：
角A的终边上点P(-1,2)到原点的距离是√5
则sinA=2/√5；cosA＝1/√5
由二倍角公式可得：
sin2A＝2sinAcosA＝2×(2/√5)×(1/√5)＝4/5
cos2A=2cos²A-1=2/5 －1=－3/5
所以cos（2A+45°）＝cos2Asin45°－sin2Acos45°
＝(√2)/2 ×(－3/5 +4/5)
＝(√2)/10
2.k=(2sin²α+sin2α)/(1+tanα)
=(2sin²α+2sinαcosα)/[(sinα+cosα)/cosα]
=2sinαcosα
因为45°＜α＜90°,所以sinα>cosα>0
则sinα-cosα>0
因为(sinα-cosα)²=sin²α-2sinαcosα+cos²α=1-k
所以sinα-cosα＝√(1-k)
3.因为sin(x+y)=2sin[(x+y)/2]cos[(x+y)/2]
sinx+siny=sin{[(x+y)/2]+[(x-y)/2]} +sin{[(x+y)/2]-[(x-y)/2]}
=sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
+sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]-cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
且x,y∈(0°,90°)即(x+y)/2 ∈(0°,90°)
则sin[(x+y)/2]>0
所以当且仅当cos[(x+y)/2]＝cos[(x-y)/2]时,sin(x+y)＝sinx+siny成立
以下假设存在锐角x,y,能使cos[(x+y)/2]＝cos[(x-y)/2]成立
因为(x+y)/2 ∈(0°,90°),(x－y)/2 ∈(－45°,45°)
所以要使cos[(x+y)/2]＝cos[(x-y)/2]成立,须使
(x+y)/2＝(x－y)/2即y＝0°
或(x+y)/2＝－(x－y)/2即x＝0°
显然这与已知x,y为锐角相矛盾
所以假设不成立
则cos[(x+y)/2]≠cos[(x-y)/2]
所以当X,Y为锐角时,等式sin（X+Y）=sinX+sinY不成立