题目

已知曲线C₁的参数方程是

x＝2cosϕ y＝3sinϕ

（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC的顶点都在C₂上，且A、B、C以逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，

π

3

）
（Ⅰ）求点A、B、C 的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

提问时间：2020-11-30

答案

（Ⅰ）由已知可得：A（2cos

π

3

，2sin

π

3

）、B（ 2cos（

π

3

+

2π

3

），2sin（

π

3

+

2π

3

） ）、C（ 2cos（

π

3

+

4π

3

 ），2sin（

π

3

+

4π

3

））．
即：A（1，

3

）、B（-2，0）、C（1，-

3

）．
（2）设点P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，则 S=12cos²∅+27sin²∅+12=15sin²∅+24，
因为0≤sin²∅≤1，所以S的取值范围是：[24，39]．

（Ⅰ）根据点A、B、C都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，x轴的正半轴到0A、OB、OC的角分别为

π

3

、

π

3

+

2π

3

、

π

3

+

4π

3

，从而求得他们的直角坐标．
（2）设点P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，则 S=12cos²∅+27sin²∅+12=15sin²∅+24，再由正弦函数的有界性，求得|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

本题考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

考点点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，正弦函数的有界性，属于中档题．