题目

已知8m^2+1为完全平方数,m为自然数,求m的一切可能值.
反馈：一楼的答主，你的分析有问题。当k=8时，k(k+1)/2=36是完全平方数；当k=288时，k(k+1)/2=(12*17)^2也是完全平方数,你为何说"当k>=2时,k与k+1互素，不可能为完全平方数，所以k=1或k=0"呢？

提问时间：2020-11-30

答案

2010-3-18 23:16
一楼的分析是错误的!
目前我已经得出四个（窃以为0不属于自然数,所以尽管m=0时也是一个完全平方数也没有包含在内）
m=1,6,35,204时,都可以得到完全平方数.
但还没有证出是否只有这四个值.
2010-3-21 22:06
终于解开了,我已经发现m的值有无数个：
假设所有的m按照数值大小排列成一个数组：m(1),m(2),m(3),.,m(i-2),m(i-1),m(i),.
那么：
m(1)=1
m(2)=6
m(i)=6*m(i-1) - m(i-2) (当i>2时)
我检验了七个数字：
1、m(1)= 1 ,这时8m^2+1=8*1^2+1= 9 的平方根是 3
2、m(2)= 6 ,这时8m^2+1=8*6^2+1= 289 的平方根是 17
3、m(3)= 6*m(2)-m(1)=6*6-1=35 ,这时8m^2+1=8*35^2+1= 9801 的平方根是 99
4、m(4)= 6*m(3)-m(2)=6*35-6=204 ,这时8m^2+1=8*204^2+1= 332929 的平方根是 577
5、m(5)=6*m(4)-m(3)=6*204-35=1189 ,这时8m^2+1=8*1189^2+1=11309769 的平方根是 3363
6、m(6)=6*m(5)-m(4)=6*1189-204=6930 ,这时8m^2+1=8*6930^2+1= 384199201 的平方根是 19601
7、m(7)= 6*m(6)-m(5)=6*6930-1189=40391 ,这时8m^2+1=8*40391^2+1= 13051463049 的平方根是 114243
如果有兴趣,楼主还可以接着往下计算.
结论就是：
m(1)=1
m(2)=6
m(i)=6*m(i-1) - m(i-2) (当i>2时)
有无穷多个符合条件的m值.