题目

给出正整数n能够被11整除的判别法,并证明

提问时间：2020-11-30

答案

奇数位所有数字之和A-偶数位上所有数字之和B=C,如果C是11的倍数,则能被11整除.
证明：由科学计数法：n=a1*10^p1+a2*10^(p1-1)+a3*10^(p1-2)+...+a(p1-1)*10^1+a(p1)*10^0
其中,a(p1-1)中（p1-1）是a的脚码如a1a2a3a4..）
（1）p1为奇数时,n=【a1*10+a2】*10^p2+【a3*10+a4】*10^(p4)+...+a(p1-1)*10+a(p1)
=【a1*10+a2】*（10^p2-1+1）+【a3*10+a4】*（10^(p4)-1+1）+...+a(p1-1)*10+a(p1)
10^p2-1,10^(p4)-1.都是11的倍数
所以n=11*M+a1*10+a2+a3*10+a4+...+a(p1-1)*10+a(p1)
=11*M+10(a1+a3+a5+.+)a(p1-1)+（a2+a4+...+a(p1)）
=11*M+11(a1+a3+a5+.+)a(p1-1)+（a2+a4+...+a(p1)）-（a1+a3+a5+.+)a(p1-1)
（a2+a4+...+a(p1)）表示奇数位所有数字之和A,a1+a3+a5+.+)a(p1-1)表示偶数位上所有数字之和B；如果A-B是11的倍数,不妨设为11N,
所以n=11M+11(a1+a3+a5+.+)a(p1-1)+11N,是11的倍数；
（2）p2为偶数时,类似（1）的证明方法,可以证明n是11的倍数.
证完.