题目

f(x) 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf(x)-f(x)≦0,对任意正数a,b,若a﹤b ,则必有( )
A.af(a)≦bf(b) B.bf(b)≦af(a) C.af(a)≦f(b) D.bf(b)≦f(a)

提问时间：2020-11-30

答案

没有一个答案是对的,证明如下：
由x(f(x)-f(x)≤0可知当x>1时,f(x)≤0,再由f(x)在定义内是非负可导函数知x≥1时,f(x)=0
仅仅能得到这么一个信息,显然当f(x)在区间[a,b]上导数足够小时（注意是负值）,
可以满足af(a)≥bf(b) ,同样f(x)在区间[a,b]上导数为正时也可以满足bf(b≥af(a),从而A,B都是不一定的.显然当b=1时C是不成立的.如果f(a)足够小,b接近1,f(b)也够大的话,显然D也是不能够成立的.