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试卷
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> 已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5. (1)试求出函数f(x)的解析式; (2)证明函数在定义域内是单调增函数....
题目
已知函数
f(x)=
ax+b
1+
x
提问时间:2020-11-30
答案
(1)∵函数
f(x)=
ax+b
1+
x
2
是定义在(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=0,即b=0
又∵
f(
1
2
)=
2
5
,∴
a
2
1+
1
4
=
2
5
,解得a=1
∴
f(x)=
x
1+
x
2
.
(2)任取任取两个数x
1
,x
2
∈(-1,1),且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
1+
x
1
2
-
x
2
1+
x
2
2
=
(x
1
−
x
2
)(1−
x
1
•
x
2
)
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
<0
因为x
1
,x
2
∈(-1,1),且x
1
<x
2
,
∴x
1
-x
2
<0,
1+
x
1
2
>0
,
1+
x
2
2
>0
,1-x
1
•x
2
>0
则f(x
1
)<f(x
2
)
故函数
f(x)=
ax+b
1+
x
2
在(-1,1)上单调递增
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