题目

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①∠AOB=60°；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP ⑤PQ²=PO•QE；恒成立的结论有______（把你认为正确的序号都填上）．

提问时间：2020-11-29

答案

∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，故①正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，

∠CAP＝∠CBQ AC＝BC  ∠ACP＝∠BCQ＝60°

，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③正确；PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正确；
∵∠DCE=∠BCA=60°，∴∠DCP=60°，
又∵∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，
∴∠DPC＞60°=∠DCP，
∴DC＞DP，
∵DC=DE，
∴DE＞DP，
故DP不等于DE，故④错误；
∵∠AOB=∠ECQ=60°，∠OAB=∠CDA=∠CEQ，
∴△OAB∽△CEQ，
∴OB：CQ=AB：EQ，（1）
∵∠POB=∠PCA=60°，∠OPB=∠CPA，
∴△OPB∽△CPA，
∴OP：CP=OB：CA，（2）
∵CQ=CP=PQ，AB=CA，
∴将（1）×（2），得
（OB×OP）：（PQ²）=（AB×OB）：（EQ×CA），
∴PQ²×AB×OB=OB×OP×EQ×CA，
∴PQ²=OP×EQ，故⑤正确．
故答案①②③⑤．

①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根据SAS证出△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据三角形外角的性质得出∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB=∠ACB=60°，可知①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠ACB=∠CPQ，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据②△ACP≌△BCQ（ASA），可知③正确；
④根据∠DPC=∠DAC+∠BCA＞60°=∠DCP，可知DC＞DP，从而有DE＞DP，可知④错误；
⑤先由△OAB∽△CEQ，得出OB：CQ=AB：EQ，由△OPB∽△CPA，得出OP：CP=OB：CA，再将两式相乘，结合等边三角形的性质，可知⑤正确．

本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，综合性质较强，难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．