题目

证明:曲面F(2x-z,x+y)=0（其中F为可微函数）上任一点的切平面平行于定直线.

提问时间：2020-11-29

答案

设曲面上任意一点(x1,y1,z1),
易得到此处切平面方程：
(2F1+F2)(x-x1)+F2(y-y1)-F1(z-z1）=0
显然法向量为(2F1+F2,F2,-F1)
假设该定直线一个方向向量为(1,m,n)
(2F1+F2,F2,-F1)*(1,m,n)=0
m=-1,n=2
所以该直线一个方向向量为(1,-1,2)
不妨设其过点(0,0,0)
得到定直线x/1=y/-1=z/2
得证原命题.
定直线无数条,但方向向量都一样.
(此题不严谨,无法排除定直线在平面内的情况）
希望可以帮到你.