题目

求圆(x-3)^2+(y-1)^2=9和(x+5/3)^2+y^2=1的外公切线方程
谢谢.要过程

提问时间：2020-11-29

答案

公切线设为L,其斜率设为k,切点设为P、Q,L与连心线AB的夹角设为θ,
两圆的圆心为A(3,1)、B(-5/3,0),半径r1=3,r2=1,
则AP⊥L,BQ⊥L,作BM⊥AP,垂足为M,在直角三角形ABM中,
∠ABM=θ,AM=r1-r2=3-1=2
AB=√[(3+5/3)²+(1-0)²]=√205/3
所以sinθ=AM/AB=2/(√205/3)=6/√205
进而求得tanθ=6/13
连心线AB的斜率为ko=(1-0)/(3+5/3)=3/14
由两直线的夹角公式得|(k-ko)/(1+kko)|=tanθ,即
|(k-3/14)/(1+3k/14)|=6/13,
解之得切线斜率为k=3/4或-9/40
切线L的直线方程设为y=kx+b,因为圆心到切线的距离=半径,运用点到直线的距离公式有
|3k-1+b|/√(k²+1)=3,
|-5k/3+b|/√(k²+1)=1,
代入k值,解之得(上面两个方程,一个求解,另一个验证以舍去增根)
当k=3/4时,b=5/2
当k= -9/40时,b= -7/5
所以外公切线方程为：
y=3x/4+5/2,y= -9x/40-7/5