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题目
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,a=2
3
tan
A+B
2
+tan
C
2
=4
,2sinBcosC=sinA,求A,B及b,c.

提问时间:2020-11-28

答案
tan
A+B
2
+tan
C
2
=4
cot
C
2
+tan
C
2
=4

cos
C
2
sin
C
2
+
sin
C
2
cos
C
2
=4

1
sin
C
2
cos
C
2
=4

sinC=
1
2
,又C∈(0,π)
C=
π
6
,或C=
6

由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin(B+C)
即sin(B-C)=0∴B=C=
π
6
A=π−(B+C)=
3

由正弦定理
a
sinA
b
sinB
c
sinC
b=c=a
sinB
sinA
=2
3
×
1
2
3
2
=2
tan
A+B
2
+tan
C
2
=4
可求得得cot
C
2
+tan
C
2
=4
,把切转化成弦化简整理可求得sinC=
1
2
,进而求得C,对2sinBcosC=sinA化简可得sin(B-C)=0,进而求得B,最后由正弦定理即可求得b,c.

三角形中的几何计算.

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