题目

数学题：已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+...+b10=145
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+...+b10=145
设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn),其中a大于0且a不等于1,记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与1/3loga bn+1的大小,并证明你的结论.
是1/3乘以…

提问时间：2020-11-28

答案

(1)Bn=3n-2
b1+b2+b3+.+b10=10b1+d+2d+.+9d
=10+45d=145
则d=3
因为Bn=b1+(n-1)*d
所以Bn=3n-2
(2)问题不够清楚.后面的是三分之一乘以logabn还是1除以3乘以logabn的积?
参考网上答案:
.设数列{bn}的公差为d,由题意得 ,∴bn=3n－2
(2)证明：由bn=3n－2知
Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ )
=loga〔(1+1)(1+ )…(1+ )〕
而 logabn+1=loga ,于是,比较Sn与 logabn+1的大小 比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小.
取n=1,有(1+1)=
取n=2,有(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+ )…(1+ )＞ (*)
①当n=1时,已验证(*)式成立.
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+ )…(1+ )＞
则当n=k+1时,
,即当n=k+1时,(*)式成立
由①②知,(*)式对任意正整数n都成立.
于是,当a＞1时,Sn＞ logabn+1,当 0＜a＜1时,Sn＜ logabn+1