题目

已知集合P={x丨1/2≤x≤2},函数f(x)=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q,若P是Q的子集,求实数a的取值范围.

提问时间：2020-11-28

答案

f(x)=log<2>(ax^2-2x+2)
(1)当a=0时,f(x)=log<2>(-2x+2)
定义域为-2x+2＞0
即,x＜1
显然不满足
(2)当a≠0时：
定义域为g(x)=ax^2-2x+2＞0
①若a＞0,△＜0,则Q=R,满足
===> 4-8a＜0
===> a＞1/2
②若a=1/2,则g(x)=(1/2)x^2-2x+2=(1/2)(x^2-4x+4)=(1/2)(x-2)^2
定义域为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞)
此时不满足
③若a＞0,△＞0 ===> 0＜a＜1/2
此时,当对称轴x=-b/2a=1/a＞2
那么,只需要g(2)＞0 ===> 4a-4+2＞0 ===> a＞1/2
与0＜a＜1/2矛盾
④若a＜0,△＞0 ===> a＜0
此时只需要满足g(1/2)＞0,且g(2)＞0
===> (a/4)-1+2＞0,且a＞1/2
===> a＞-4,且a＞1/2
===> a＞1/2
与x＜0矛盾
综上：a＞1/2