题目

为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y₁元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y₂元．
（1）分别求出y₁、y₂与x之间的函数关系式；
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

提问时间：2020-11-27

答案

（1）由题意可知，
当0＜x≤100时，购买一个需5000元，故y₁=5000x；
当x＞100时，
∵购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，
∴x≤

5000−3500

10

+100=250个．
即100＜x≤250时，购买一个需5000-10（x-100）元，
故y₁=-10x²+6000x；
当x＞250时，购买一个需3500元，
故y₁=3500x；
∴y₁=

5000x(0＜x≤100) 6000x−10x2(100＜x≤250) 3500x(x＞250)

，
y₂=5000×80%x=4000x．
（2）在甲商家，当0＜x≤100时，y₁=5000x≤500000＜1400000；
当100＜x≤250时，y₁=6000x-10x²=-10（x-300）²+900000＜1400000；
∴由3500x=1400000，得x=400；
在乙商家，由4000x=1400000，
得x=350个．
故选择甲商家，最多能购买400个路灯．

（1）对甲，由于购买个数不同，售价也不同，因此需按购买个数分成三段由等量关系“所需金额=售价×购买个数”列出函数关系式；
对乙，按等量关系“所需金额=售价×购买个数”列出函数关系式．
（2）分别计算投资额在甲乙商家各能购买的太阳能路灯的数量，比较得出最大值．

本题考点：二次函数的应用；分段函数．

考点点评：本题考查了分段函数关系式的列法，应从自变量的变化范围入手，同时考查了最值的求法．