题目

两道初三数学函数题.
如图,点M（1,m)(m>0)是抛物线y=ax^2+bx+c的顶点,点A（1,0）,若抛物线与y轴正半轴交于点B,且直线AB与抛物线有且只有一个交点,请判断三角形BOM的形状,并说明理由.
如图,已知抛物线y=-x^2+3x+6交y轴与A点,点C（4,k)在抛物线上,将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于点M,N两点,且M,N关于点C成中心对称,求n的值
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提问时间：2020-11-27

答案

抛物线于y轴交点为B(0,c),A(1,0),所以直线AB是y=－cx＋c,与抛物线y=ax^2＋bx＋c联立,得到ax^2＋(b＋c)x=0,其判别式△=0,得到b=－c,又由于抛物线顶点为(1,m),所以－(b/2a)=1,则a=－(1/2)b=(1/2)c.从而抛物线为y=(1/2)cx^2－cx＋c,所以M(1,(1/2)c)、B(0,c)、A(1,0),此三角形为等腰三角形
过N作NE垂直y轴于E,过M作MF垂直NE于F,过C作CG垂直NE于G
令x=0,所以y=6,所以A(0,6),因为C（4,2）,所以AC解析式为y=-x+6①
因为y=-x2+3x+6=-(x-3/2)2+8.25所以平移后的解析式设为y=-(x+a)2+8.25②
联立①②得x2+(2a-1)x+a2-9/4=0 所以x1+x2=-2a+1
因为x1+x2=EF+EN=EF+EF+FG+GN=2EG=8 所以a=-7/2
所以-3/2-n=-7/2 所以n=2