题目

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③当x₁，x₂∈[0，1]，且x₁+x₂∈[0，1]时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．称这样的函数为“友谊函数”．
请解答下列各题：
（1）已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；
（3）已知f（x）为“友谊函数”，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

提问时间：2020-11-27

答案

（1）令x₁=1，x₂=0，则x₁+x₂=1∈[0，1]．
由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．
又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．
（2）g（x）=2^x-1是友谊函数．
任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁+x₂∈[0，1]，有2x₁≥1，2x₂≥1．
则（2x₁-1）（2x₂-1）≥0．
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）．又g（1）=1，
故g（x）在[0，1]上为友谊函数．
（3）取0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁≤1．
因此，f（x₂）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）≥f（x₁）．
假设f（x₀）≠x₀，
若f（x₀）＞x₀，则f[f（x₀）]≥f（x₀）＞x₀．
若f（x₀）＜x₀，则f[f（x₀）]≤f（x₀）＜x₀．
都与题设矛盾，因此f（x₀）=x₀．