题目

已知函数f(x)=x^2-1,设曲线y=f(x)在点(xn,yn)处的切线与x轴的交点为(x(n+1),0),其中xn＞1
（1）用xn表示xn+1
(2)x1=2,若an=lg((xn+1)/(xn-1)),试证明数列an为等比数列,并求数列an的通项公式
an=lg(xn加一比上xn减一啊）别多想

提问时间：2020-11-27

答案

(1)
首先(xn,yn)处的切线斜率为 2xn
所以切线方程为 y=2xn*x + yn-2xn^2
所以 x(n+1) = (2xn^2 - yn) / (2xn)
yn = xn^2 -1 所以 x(n+1) = (xn^2+1)/（2xn）
(2) an= lg((xn+1)/(xn-1)) = lg((xn^2+1)/2x(n-1)+1) - lg((xn^2+1)/2x(n-1)-1)
= lg(x(n-1)^2+2x(n-1) + 1) - lg(2x(n-1)) - lg(x(n-1)^2+1-2x(n-1)) + lg(2x(n-1))
= lg( (x(n-1) + 1)^2) + lg( (x(n-1) - 1)^2)
= 2lg((x(n-1) + 1) / (x(n-1) - 1))
= 2* a(n-1)
即 a(n)为等比数列,公比为 2
所以通项公式为 a(n) = a(1)* 2^n = (lg2)* 2^n
【中学数理化解答团】