题目
分段函数求导问题
提问时间:2020-11-27
答案
第一步,先求f(x)在x=0处的极限
=lim (x→0) ((1+x)-1)/(x·(√(1+x)+1) )
=lim 1/(√(1+x)+1)
=1/2
=f(0)
极限与函数值相等,说明f(x)在x=0处连续.
第二步,判断可导性
由于函数f(x)=(√(1+x)-1)/x 是由初等函数构造而成的,因此其左右导数都存在.
其导数的形式为
f'(x)=[(√(1+x)-1)/x]'=[1/(√(1+x)+1)]'= -(1/(2(√(1+x) ) )/(√(1+x)+1)² =(-1/2)·[√(1+x) + 2 + 1/√(1+x) ]
则f'(x) (x→0+) = f'(x) (x→0-) = -2
左右导数都存在且相等,则在该处导数存在.
第三步,再判断二阶导数.
令√(1+x)=t,则f'(x)=f'(1+x-1)=f'(t²-1)=(-1/2)·(t+2+1/t)
则f''(x)=d f'(x) /dx
=[d f'(x)/dt]·[dt/dx]
=[1-1/t²]·[1/(2(√(1+x) )]
=[1-1/(1+x)]·[1/(2(√(1+x) )]
∴当x=0时,可得f''(0)=0
二阶导数存在.
D
=lim (x→0) ((1+x)-1)/(x·(√(1+x)+1) )
=lim 1/(√(1+x)+1)
=1/2
=f(0)
极限与函数值相等,说明f(x)在x=0处连续.
第二步,判断可导性
由于函数f(x)=(√(1+x)-1)/x 是由初等函数构造而成的,因此其左右导数都存在.
其导数的形式为
f'(x)=[(√(1+x)-1)/x]'=[1/(√(1+x)+1)]'= -(1/(2(√(1+x) ) )/(√(1+x)+1)² =(-1/2)·[√(1+x) + 2 + 1/√(1+x) ]
则f'(x) (x→0+) = f'(x) (x→0-) = -2
左右导数都存在且相等,则在该处导数存在.
第三步,再判断二阶导数.
令√(1+x)=t,则f'(x)=f'(1+x-1)=f'(t²-1)=(-1/2)·(t+2+1/t)
则f''(x)=d f'(x) /dx
=[d f'(x)/dt]·[dt/dx]
=[1-1/t²]·[1/(2(√(1+x) )]
=[1-1/(1+x)]·[1/(2(√(1+x) )]
∴当x=0时,可得f''(0)=0
二阶导数存在.
D
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
- 1“你们只需大概了解一下,有个初步认识.”用英语怎么说?
- 2为什么第四周期元素失电子时,4s电子先于3d电子?
- 3《饮湖上初晴后雨》这首诗中的欲把西湖比西子的 西子 指?急啊,15分,不要白不要啊
- 4现在有6个数,它们的平均数为15,前4个数的平均数为18,后3个数的平均数为20,求第四个数为多少?
- 5写反义词
- 6英语翻译
- 7What will you do after this oral test?用英语回答一下这个问题
- 8求高中数学特殊公式不要课本上的.要像焦点三角形面积公式两圆的公共弦公式!
- 9比值是一个数可以用什么表示
- 10将下面的分数化成百分数,百分数化成分数79/100,2/5,1/8,一又四分之一,5/12.40%,35%,0.7%,12.5%,99%
热门考点
- 1如果,a加b分之一等于1,b加c分之一等于1,求c加a分之一
- 2The writing-brush is mine He has taken it away改成定语从句、
- 3若5的值在两个整数a与a+1之间,则a=_.
- 43阶实对称矩阵A的三个特征值为2,5,5,A的属于特征值2的特征向量是(1,1,1)
- 5大家来翻英语:"沉没成本(sunk cost)指的是那些已经发生,不可收回的支出,如时间金钱精力等"
- 6用一句古诗来赞美伟大的爱
- 7对Tom likes rice for lunch中的rice提问
- 8I very like English.这句话为什么错
- 9若9名同学中男生5名,女生4名:若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头,有多少种排法?
- 10what is mercantilism ?(用英语回答)