题目

函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）
这个函数的增减性的证明

提问时间：2020-11-27

答案

概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√〔(a^2+b^2)/2〕
编辑本段均值不等式的变形
(1)对实数a,b,有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号),a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b,有a+b≥2√(a*b)≥0,即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b,有a+b<0<2√(a*b) (4)对实数a,b,有a(a-b)≥b(a-b) (5)对实数a,b,有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对实数a,b,有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)对实数a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对实数a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b,有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)对实数a,b,c,有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
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