题目

如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则△ACD的面积为______．

提问时间：2020-11-27

答案

如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE，
∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

AC＝BC ∠ACE＝∠BCD CD＝CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，
根据勾股定理得：DE=

AE2−AD2

=4，
∴CD=DE=4，
则S=

1

2

AD•DC•sin30°=

1

2

×3×4×

1

2

=3．
故答案为：3．

如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE，根据三角形ABC与三角形CDE为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BCD与三角形ACE全等，利用全等三角形对应边相等得到BD=AE，求出AE的长，由∠ADC+∠CDE=∠ADE=90°，得到三角形ADE为直角三角形，利用勾股定理求出DE的长，即为DC的长，在三角形ADC中，利用三角形的面积公式即可求出三角形ADC面积．

本题考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．