题目

1.已知a,b,c是实数,且a=b+c+1,求证：两个方程x²+x+b=0与x²+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根.
2.已知首项系数不相等的两个方程：(a－1)x²－(a²+2)x+(a²+2a)=0和(b－1)x²－(b²+2)x+(b²+2b)=0(其中a,b是正整数）有一个公共根,求a,b的值
3.若a,b,c都是奇数,则二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)没有实数根

提问时间：2020-11-27

答案

1,反证法,若两个方程均不具有不相等实根.则判别式均不大于0,即,1-4b≤0,且a²-4c≤0.由这两个不等式得,b≥1/4,切c≥a²/4,带入等式a=b+c+1,则,a=b+c+1≥1/4+a²/4+1,即a≥1/4+a²/4,整理得：a²-4a+5≤0,再配平方得(a-2)²≤-1,出现矛盾.所以,至少有一个方程有两个不相等的实数根.
2.
设两方程的公共根为c,则有：(a－1)c²－(a²+2)c+(a²+2a)=0,且(b－1)c²－(b²+2)c+(b²+2b)=0.将连个等式分别展开并整理,得：(a-c)(a+c+2-ac)=0
且,(b-c)(b+c+2-bc)=0.
下面分情况讨论这两个等式：
（1）c不等于a,b中的任何一个,即c≠a≠b.
可分别约去两等式中的a-c和b-c.则有(a+c+2-ac)=0,且(b+c+2-bc)=0.整理得：(1-c)a+(c+2)=0,且：(1-c)b+(c+2)=0,显然c=1时两个等式是不成立的,所以c≠1.则有a=b= -(c+2)/(1-c).这与题中两个方程首项系数不相等,即a≠b 矛盾.故此种情况不成立.
（2）c等于a,b其中的一个,不妨设c=a.
此时,等式自动成立.将c=a带入等式中,得(b-a)(b+a+2-ab)=0.由a≠b得,b+a+2-ab=0,经整理可得(a-1)(b-1)=3.由于a,b是正整数,可得a=2,b=4,或a=4,b=2.若设c=b结果相同.
综上,结果为a=2,b=4,或a=4,b=2.（其实题中的两个方程是有两个公共根的,还好题中只是说“有一个公共根”,而不是“有且只有一个公共根”,否则就无解了呀）.
（3）这个实在是题目有错误了,很简单的,根的判别式 b²-4ac≥0即可有实根,a=1,c=3,b=101,显然就能使方程有实根的嘛...
哇!写了这么多才发现你的悬赏分是0.好受伤