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题目
已知正方形ABCD内一点,E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
2
+
6
,则此正方形的边长为______.

提问时间:2020-11-27

答案
如图,设E到A点,B点,C点的距离之和的最小值为
2
+
6

以B为旋转中心,把△AEB按逆时针方向旋转60°,得△FGB,连CF,
∴△BEG是正三角形,
∴BE=GE,
∴AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC,当且仅当取等号时,AE+BE+CE最小,
∴FC=
2
+
6

设正方形的边长为2x,过F作FG⊥BC于G点,如图,
∵∠ABF=60°,
∴∠FBG=30°,
∴FG=x,BG=
3
x,则CG=(2+
3
)x,
在Rt△FG′C中,FC2=FG2+GC2,即(
2
+
6
2=x2+[(2+
3
)x]2
解得x=1,
∴正方形的边长为2x=2.
故答案为2.
设E到A点,B点,C点的距离之和的最小值为
2
+
6
.以B为旋转中心,把△AEB按逆时针方向旋转60°,得△FGB,连CF,
根据旋转的性质得△BEG是正三角形,则BE=GE,得到AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC,当且仅当取等号时,AE+BE+CE最小,所以
FC=
2
+
6
;设正方形的边长为2x,过F作FG⊥BC于G点,则FG=x,BG=
3
x,则CG=(2+
3
)x,在Rt△FGC中,利用勾股定理即可得到x的值,则正方形的边长即可得到.

旋转的性质;正方形的性质.

本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了正方形和等边三角形的性质以及勾股定理.

举一反三
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