题目

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

提问时间：2020-11-26

答案

假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），
由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b得△₁=（2b）²-4ac≤0，
△₂=（2c）²-4ab≤0，
△₃=（2a）²-4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b²+4c²+4a²-4ac-4ab-4bc≤0，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≤0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0，
∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．