题目

关于放缩法的一道题目（高中数学）
已知数列｛an｝的首项a1=3/5,a（n+1）=3an/2an+1,n=1,2,3.,
（1）求an的通项公式；
（2）证明；对任意的x＞0,an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x],n=1,2,...；
（3）证明；a1+a2+...+an＞n²/n+1
第一问的通项公式是an=3^n/3^n+2
第二问我也懂了
第三问的证明是 对任意的x＞0,有
a1+a2+a3+.+an≥1/（1+x）-1/（1+x）²（2/3-X）+1/（1+x）-1/（1+x）²（2/3²-X）+...+1/（1+x）-1/（1+x）²（2/3^n-X）=n/（1+x）-1/（x+1）²（2/3+2/3²+.+2/3^n-nx）
当x=1/n（2/3+2/3²+.+2/3^n）?
这个当x=1/n（2/3+2/3²+.+2/3^n）是什么意思?怎么会这样做了?

提问时间：2020-11-26

答案

因为前面已经证明了对于任意的x＞0,不等式an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x]成立,
请注意“对于任意的x>0",此话的意思就是我们可以在x>0的前提下进行假设,比如你可以假设x=1,也可以设x=2,但从此题的情况来看,设x=(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n >0可以使不等式的计算来得更简便些,因为x=(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n,则nx=2/3+2/3²+.+2/3^n,那么右边不等式的第二项就等于0
这时不等式就变成
a1+a2+a3+.+an≥n/(1+x)
=n/[1+(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n]
=n^2/[n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)]
=n^2/(n+1-1/3^n)
>n^2/(n+1)
因为1/3^n>0
所以n^2/(n+1-1/3^n)>n^2/(n+1),