题目

求问道高三数列的题目
已知数列{an}中,a1=1,an*a(n+1)=(1/2)^n (n∈N*)
（1）求证数列{a2n}与{a(2n+1)}都是等比数列.
（2）求数列{an}前2n的和T2n
（3）若数列{an}前2n的和为T2n,不等式64T2n*a2n≤3(1-ka2n)对n∈N*恒成立,求k的最大值.
第二问算的和别人不一样,算的3-3/2(1/2)^(n-1),第三问就不会了,希望高人指点下.

提问时间：2020-11-26

答案

(1)可以猜几个数,a1=1,a2=1/2,a3=1/2,a4=1/4,a5=1/4,a6=1/8,...可以用数学归纳法证明：a(2n)=(1/2)^n, n=1,2,3,...
a(2n+1)=(1/2)^n, n=0,1,2,...
(2)只要算奇数项的和就行,因为每一个奇数项后面的偶数项都是它前面的奇数项的1/2,即a2=1/2a1,a4=1/2a3,...求出奇数项的和再乘以3/2就可以了.前2n项中奇数项的和为 1+1/2+...+(1/2)^(n-1)=3-3/2^n, 你的结果化简一下就是这个
(3)由64T2n*a2n≤3(1-ka2n),将T(2n),a(2n)的值带进去即有
64*(3-3/2^n)/2^n≤3(1-k/2^n),化简得 64*(1-1/2^n)≤2^n-k,
移项得 k≤2^n-64*(1-1/2^n)=2^n+64/2^n-64,要想这个式子对n∈N*恒成立,只需k小于右边的最小值.注意到2^n 与 64/2^n 均大于0,所以由均值不等式有
2^n+64/2^n>=2*根号64=16,而且等号成立当且仅当2^n=64/2^n,即n=3,所以等号可以取到.因此右端值2^n+64/2^n-64>=16-64=-48.所以k的最大值为 -48.