题目

椭圆的一组平行弦中点的轨迹是什么

提问时间：2020-11-26

答案

设椭圆方程为：
x^2/a^2+ y^2/b^2=1,(a>b>0)
当直线垂直于x或y轴时,这组平行弦的轨迹显然分别是长轴和短轴,当直线和x轴、y轴均不平行时,设其直线方程为:y=kx+ m,
代入椭圆方程,得
b^2x^2+ a^2(kx+ m)^2-a^2b^2=0,
(b^2+ a^2k^2)x^2+ 2kma^2x+ (a^2m^2-a^2b^2)=0,
设直线与椭圆相交的两点的中点是：(x0,y0),则
x0=kma^2/(b^2+ a^2m^2)
y0=kx0 m=mb^2/(b^2 +a^2k^2)
显然b^2 +a^2k^2≠0,
∴y0/x0=-b^2/(ka^2)
∴y0=[-b^2/(ka^2)]x0
即中点的轨迹是过原点的直线y=[-b^2/(ka^2)]在椭圆内部分的线段.