题目

在△ABC中，三内角A，B，C的大小为等差数列，求sinA+sinC的取值范围．

提问时间：2020-11-26

答案

∵三内角A，B，C的大小为等差数列
∴A+B+C=π，A+C=2B，可得3B=π，即B=

π

3

∴A+C=

2π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

）
∵0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1
∴sinA+sinC的取值范围是（

3

2

，

3

]

由题意，可先由三内角A，B，C的大小为等差数列解出B=

π

3

，从而得出A+C=

2π

3

，再利用和角公式将其变为

3

sin（A+

π

6

），再由0＜A＜

2π

3

解出其取值范围即可．

本题考点：等差数列的性质；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查等差数列的性质及三角形的恒等变换公式，解题的关键是熟练利用等差数列的性质建立方程求出角的范围，再由和角公式差角公式化简求值，本题考查了转化的思想及利用公式进行变形计算的能力．