题目

高一数学问题关于圆和直线方程
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c)的离心率e=√6/3,过点A(0,-b)和B（a,0)的直线与原点的距离为√3/2.（1）求椭圆的方程 （2）已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k不等于0）与椭圆交于C,D两点,问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过点E?请说明理由
（1）已经解出来了,是：x^2/3+y^2=1
(2)不会写~帮忙解决第二题

提问时间：2020-11-26

答案

设CD的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)
EC=(x1+1,y1),ED=(x2+1,y2),EC,ED是向量
若E在以CD为直径的圆的圆周上,则有EC*ED=0
(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=0
x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+2)(kx2+2)
(k²+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0
将y=kx+2代入椭圆方程
x²/3+(kx+2)²=1
(1/3+k²)x²+4kx+3=0
x1+x2=-4k/(1/3+k²),x1x2=3/(1/3+k²)
代入化简得
3(k²+1)-4k(2k+1)+5(1/3+k²)=0
(14/3)-4k=0
k=7/6