题目

已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

都是定义在A{x|1≤x≤

5

2

}上，对任意的x∈A，存在常数x₀∈A，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则f（x）在A上的最大值为（　　）
A.

5

2

B.

17

4

C. 5
D.

41

40

提问时间：2020-11-26

答案

由已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

在区间[1，

5

2

]上都有最小值f（x₀），g（x₀），
又因为g（x）=x+

4

x

 在区间[1，

5

2

]上的最小值为g（2）=4，
f（x）_min=f（2）=g（2）=4，
所以得：

− p 2 ＝2 4+2p+q＝4

，
即：

p＝−4 q＝8

所以得：f（x）=x²-4x+8≤f（1）=5．
故选C．

由已知很容易得到函数g（x）=x+

4

x

 在区间[1，

5

2

]上的最小值为g（2）=4，于是函数f（x）=x²+px+q也在x=2处取到最小值f（2），下面只需代入数值即可求解．

本题考点：函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题考查函数的单调性，利用单调性求解函数在区间上最值的方法，考查二次函数，对勾函数等函数型的性质；考查函数与方程，转化与化归等数学思想方法．