题目

问一个用微分中值定理解决的证明题.
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明存在t属于(0,1),使得f''(t)=2f'(t)/(1-t).
我找出了辅助函数G(x)=f'(x)(1-x)-f(x),但如何证明它在(0,1)内有两个值相同的点?

提问时间：2020-11-26

答案

换个思路
证明：
∵f(0)=f(1)=0
∴由微分中值定理知,存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=0
令G(x)=(1-x)²f'(x),则G(ξ)=G(1)=0
∴由微分中值定理知,存在t∈(ξ,1),使G'(t)=0
即(1-t)²f''(t)-2(1-t)f'(t)=0
∵t<1
∴(1-t)f''(t)-2f'(t)=0
即f''(t)=2f'(t)/(1-t)
证毕