题目

证明如果A是n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,那么 R（A*）=①n,R（A）=n,②1,R(A)=n-1,③R(A)=0,R(A)提问时间：2020-11-26

答案

当R(A)=n时,有A可逆,|A|≠0,由 AA* = |A|E,说明A*可逆,R(A*)=n 当r(A)=n-1时,有A不可逆,|A|=0所以 AA* = |A|E=0,所以r(A*)<=n-r(A)=1.而矩阵A的秩为n-1,所以说在A中的n-1阶子式中至少有一个不为0,所以A*中有元素不为0,即A*≠0,r(A*)>=1.所以r(A*)=1 当r(A)<n-1,即r(A)<=n-2时,说明矩阵的秩是小于等于n-2的,那么他的所以n-1阶子式全为0,就是说A*中的每个元素全为0.A*=0.所以r(A*)=0