题目

平面直角坐标系内有两条直线l1、l2,直线l1的解析式为 y=2/3x+1,如果将坐标纸折叠,使直线l1与l2重合,此时点（—2,0）与点（0,2）也重合．
（1）求l2的解析式
（2）设直线l1与l2相交于点M,问：是否存在这样的直线l：,使得如果将坐标纸沿直线l折叠,点M恰好落在x轴上?若存在,求出直线l的解析式；若不存在,请说明理由；

提问时间：2020-11-26

答案

(1)显然:点（—2,0）与点（0,2）的对称轴为：y=-x
这也是l1,l2的对称轴
设点(a,b)在l1上,点(m,n)在l2上,且它们关于y=-x对称
它们连线的中点为((a+m)/2,(b+n)/2),在y=-x上,
因此,b+n=-a-m--------------------------------(1)
且它们的连线垂直y=-x,
所以:(b-n)/(a-m)=1----------------------------(2)
解(1),(2)得:
a=-n
b=-m
代入y=2/3x+1,得:
-m=-2/3n+1
n=(3/2)m+(3/2)
以x代替m,以y代替n,得:
y=(3/2)x+(3/2)
即为l2的解析式
(2)联立y=(2/3)x+1,y=(3/2)x+(3/2),解得:
M点坐标(-3/5,3/5)
设:直线l为y=kx+b,折叠后x轴上与M点重合的是点N(a,0)
则:k*(3/5)/(-3/5-a)=-1
k=(5a+3)/3
直线l为y=((5a+3)/3)x+b
而:MN的中点为(-3/10+a/2,3/10),代入以上,得:
b=(3/5)-(5/6)a^2
所以,直线l为:y=((5a+3)/3)x+(3/5)-(5/6)a^2
因为a为任意实数,所以直线l有无穷条