题目

求函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．

提问时间：2020-11-26

答案

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+2sinxcosx+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=2+sin2x+cos2x
=2+

2

sin（2x+

π

4

）．
当sin（2x+

π

4

）=-1时，y取得最小值2-

2

当且仅当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

即x=kπ-

3

8

π时取最小，
取最小值的x的集合为{x|x=kπ-

3

8

π，k∈Z}．

把函数关系式利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取

2

然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．

本题考点：三角函数的最值．

考点点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．