题目

过抛物线C y^2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则AB的长度?
答案是16/3.求解过程

提问时间：2020-11-26

答案

由题知抛物线C的焦点坐标为F（1.0）
准线方程为x=-1
设直线I的方程为y=kx+b
将F代入知y=kx-k
由抛物线性质知A到准线的距离等于A到焦点的距离,即IAFI=4,A点横坐标x1=4-1=3
设A（3,y1) B(x2,y2)
AF²=y1²+（3-1）²=16 得y1=2√3(负值舍去）
将A点坐标代入直线方程得k=√3 直线方程y=√3 (x-1)
直线和抛物线方程联立3(x-1)²=4x 3x²-10x+3=0 A、B点横坐标之和为10/3
由抛物线性质知A（B)到准线的距离等于A(B)到焦点的距离故IABI=IAFI+IBFI=3+x2=10/3