题目

若a,b,c为三角形ABC的三边,求证ab+bc+ca小于等于a^+b^+c^小于2*（ab+bc+ca）
是个连续的不等式,应该可以分开解.

提问时间：2020-11-25

答案

ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2（ab+bc+ca）
证：先证ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2
同时乘2,即证2ab+2bc+2ca<=2a^2+2b^2+2c^2
因为(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0
得证
再证a^2+b^2+c^2<2（ab+bc+ca）
因a,b,c表示三角形的三边
|a-b|＜c--->a²-2ab+b²＜c²
|b-c|＜a--->b²-2bc+c²＜a²
|c-a|＜b--->c²-2ca+a²＜b²
三式相加,得证