题目

已知直线y=kx+m与椭圆x↑2/2+y↑2=1交于AB两点,且椭圆上的点P满足向量OP=向量OA+向量OB,证明四边形OAPB的面积为定值,求m的取值范围.（注：x↑2为x的平方.

提问时间：2020-11-25

答案

先将直线方程与椭圆方程联立,得(2k+1)x^2+4kmx+2(m^2-1)=0
根据韦达定理知△=16k^2-8m^2+8＞0,得m^2＜1,又∵直线方程不能过原点（过原点无法构成四边形）,∴m≠0,即m∈(-1,0)∪（0,1）
设A(XA,YA),B(XB,YB),可得P(XA＋XB,YA＋YB)
根据两点间距离公式即可证明|OA|=|PB|,|AP|=|OB|.∴四边形OAPB为平行四边形.要证四边形OAPB面积为定值,只需证三角形OAB为定值.
∵COS∠AOB=XAXB＋YAYB／√(XA^2＋YA^2)*(XB^2＋YB^2)
则SIN∠AOB=XAYB-YBYA/√(XA^2＋YA^2)*(XB^2＋YB^2)
即三角形面积为1/2|OA|*|OB|*SIN∠AOB=1/2(XAYB-XBYA),最后结果为常数,即面积为定值