题目
已知函数y=f(x)是定义在区间[-
,
]上的偶函数,且x∈[0,
]时,f(x)=-x2-x+5.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若矩形ABCD的顶点A,B在函数y=f(x)的图象上,顶点C,D在x轴上,求矩形ABCD面积的最大值.
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(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若矩形ABCD的顶点A,B在函数y=f(x)的图象上,顶点C,D在x轴上,求矩形ABCD面积的最大值.
提问时间:2020-11-25
答案
解(1)当x∈[-
,0]时,-x∈[0,
].
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.又∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x)=-x2+x+5.
∴f(x)=
(2)由题意,不妨设A点在第一象限,
坐标为(t,-t2-t+5),其中t∈(0,
].
由图象对称性可知B点坐标为(-t,-t2-t+5).
则S(t)=S矩形ABCD=2t(-t2-t+5)=-2t3-2t2+10t.
s′(t)=-6t2-4t+10.由s′(t)=0,得t1=-
(舍去),t2=1.
当0<t<1时,s′(t)>0;t>1时,s′(t)<0.
∴S(t)在(0,1]上单调递增,在[1,
]上单调递减.
∴当t=1时,矩形ABCD的面积取得极大值6,
且此极大值也是S(t)在t∈(0,
]上的最大值.
从而当t=1时,矩形ABCD的面积取得最大值6.
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∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.又∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x)=-x2+x+5.
∴f(x)=
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(2)由题意,不妨设A点在第一象限,
坐标为(t,-t2-t+5),其中t∈(0,
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由图象对称性可知B点坐标为(-t,-t2-t+5).
则S(t)=S矩形ABCD=2t(-t2-t+5)=-2t3-2t2+10t.
s′(t)=-6t2-4t+10.由s′(t)=0,得t1=-
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当0<t<1时,s′(t)>0;t>1时,s′(t)<0.
∴S(t)在(0,1]上单调递增,在[1,
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∴当t=1时,矩形ABCD的面积取得极大值6,
且此极大值也是S(t)在t∈(0,
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从而当t=1时,矩形ABCD的面积取得最大值6.
(1)欲求函数f(x)的解析式,只须求出函数f(x)在x∈[-32,0]时的解析式即可,利用函数的偶函数性质即可由y轴右侧的表达式求出在y轴左侧的表达式.最后利用分段函数写出解析式即可.(2)设A点在第一象限,坐标为A(t,-t2-t+5),利用对称性求出B点坐标,进而求出矩形ABCD面积,最后利用导数求出此面积表达式的最大值即可.
函数奇偶性的性质;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的极值.
本题主要考查了分段函数、函数的最值及其几何意义及利用导数研究函数的极值,属于中档题.
举一反三
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