题目

已知x,y,z是实数,且x+2y-3z=1,求x2+y2+z2的最小值.

提问时间：2020-11-25

答案

方程x+2y-3z=1表示三维空间直角坐标系中的平面,将其写成截距式x/1+y/(1/2)+z/(-1/3)=1得其在x,y,z轴上的截距分别为1,1/2,-1/3.
设此平面与x,y,z轴分别相交于A,B,C点.x^2+y^2+z^2表示平面x+2y-3z=1上点（x,y,z)于原点O(0,0,0)的距离的平方,其最小值为原点O到平面x+2y-3z=1距离（垂线段OP长)的平方
利用体积转换得,V-OABC=V-AOBC,即op*S三角形ABC=OA*OB*OC,op=1/根号14,op平方=1/14
x2+y2+z2的最小值为1/14