题目
定义在正整数集上的函数f(x)满足 f(1)=2011且f(1)+f(2)+……+f(n)=n平方f(n)(n大于等于1) 求f(2011)=
提问时间:2020-11-25
答案
由f(1)+f(2)+……+f(n-1)+f(n)=n^2 × f(n)
故f(1)+f(2)+……+f(n-1) =(n-1)^2 × f(n-1)
两式相减可得
f(n)=n^2 × f(n) - (n-1)^2 × f(n-1)
即(n^2-1)× f(n) = (n-1)^2 × f(n-1)
所以f(n)=(n-1)^2 × f(n-1) / (n^2-1)
= f(n-1) (n-1) / (n+1)
故递推得
f(2011)=f(2010)× 2010/2012
=f(2009)× (2010×2009)/(2012×2011)
……
=f(1)×(2010×2009×2008……×3×2×1)/(2012×2011×2010×……×5×4×3)
=f(1)×2/(2012×2011)
=2011×2/(2012×2011)
=1/1006
故f(1)+f(2)+……+f(n-1) =(n-1)^2 × f(n-1)
两式相减可得
f(n)=n^2 × f(n) - (n-1)^2 × f(n-1)
即(n^2-1)× f(n) = (n-1)^2 × f(n-1)
所以f(n)=(n-1)^2 × f(n-1) / (n^2-1)
= f(n-1) (n-1) / (n+1)
故递推得
f(2011)=f(2010)× 2010/2012
=f(2009)× (2010×2009)/(2012×2011)
……
=f(1)×(2010×2009×2008……×3×2×1)/(2012×2011×2010×……×5×4×3)
=f(1)×2/(2012×2011)
=2011×2/(2012×2011)
=1/1006
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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