题目

急求!已知函数f(x)=1/2(x平方)-a与函数g（x）=e平方*lnx（e为自然对数的底）有公共的切线,且切点相同
F（x）=f（x）-mg（x） （m不等于0）.
（1）求a的值
（2）求F（x）在区间【1,e】上的最小值.（我记得有三种情况的.）

提问时间：2020-11-24

答案

(1)f(x)=1/2*x^2-a,g(x)=e^2*lnx
求导,f’(x)=x,g’(x)=e^2*1/x,
因为有相同切线,则f’(x)= g’(x),解得：x=e,
因为切点相同,则f(e)=1/2*e^2-a= g(e)=e^2,a=1/2*e^2
(2) F（x）= f（x）-mg（x）=1/2*x^2- 1/2*e^2-m e^2*lnx,
求导,F’(x)= x-m e^2*1/x,F”(x)= 1+m e^2*1/x^2,
令F’(x) = x-m e^2*1/x =0,解得：x=e√m,
而F”(e√m)>0,此点有极小值=-1/2* e^2*(1+m+ m lnm),且曲线是向下凹的,
当x=1时,F(1)= 1/2- 1/2*e^2,
当x=e时,F(e)= -m e^2,
当m>1时,极小值点在[1,e]外右侧,则[1,e]内的极小值= -m e^2,
当1/e^2≤m≤1时,极小值点在[1,e]内,则[1,e]内的极小值=-1/2* e^2*(1+m+ m lnm)
当0