题目

若抛物线y^2=4x 的焦点是F ,准线是l ,点M(4,4) 是抛物线上一点,则经过点M 、F 且与l 相切的圆共有几个
答案是两个,

提问时间：2020-11-24

答案

抛物线y²=4x的焦参数p=2,所以F(1,0),直线l:x=-1,即x+1=0,
设经过点M(4,4)、F(1,0),且与直线l相切的圆的圆心为Q(g,h),
则半径为Q到l的距离,即1+g,所以圆的方程为(x-g)²+(y-h)²=(1+g)²,
将M、F的坐标代入,得(4-g)²+(4-h)²=(1+g)²,(1-g)²+(0-h)²=(1+g)²,
即h²-8h+1=10g①,h²=4g②,②代入①,得3h²+16h-2=0,
解得h1=(√70-8)/3,h2=-(√70+8)/3,（经检验无增根）
代入②得g1=(67-8√70)/18,g2=(67+8√70)/18,
所以满足条件的圆有两个：
(x-(67-8√70)/18)²+(y-(√70-8)/3)²=((85-8√70)/18)²,
(x-(67+8√70)/18)²+(y+(√70+8)/3)²=((85+8√70)/18)².